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发表于 2023-5-12 01:06:44
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Me: 求定积分的值，函数式子为In(2+cosx)，积分上限为π，积分下限为0，结果含有π则保留π，含有根号则保留根号
根据换元积分法，令u=2+cosx，则du=-sinxdx。 当x=π时，u=1，当x=0时，u=3。 因此，原式可化为： ∫(0→π) In(2+cosx) dx = ∫(1→3) In(u) (-du/sin x) 再进行换元，令v=π-x，则dv=-dx。 当x=π时，v=0，当x=0时，v=π。 因此，原式又可化为： -∫(0→π) In(2+cosx) dx = ∫(0→π) In(2+cos(v-π)) dv = ∫(0→π) In(2-cosv) dv 将积分区间由[0,π]改为[-π,0]，同时乘以2，得到： 2∫(-π/2→π/2) In(2+cosx) dx = ∫(-π→π) In(2-cosv) dv = ∫(-π→π) In(2-cosv) dv = 2∫(0→π) In(2-cosv) dv 因此，原式就是2倍的∫(0→π) In(2-cosv) dv。 通过套用欧拉-马斯刻罗尼公式，得到： ∫(0→π) In(2-cosv) dv = π/2 * In2 因此，原式为2π/2 * In2 = πIn2。 答案为πIn2。 |
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发表于 2023-5-10 23:39:42
